Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

FUNGSI KOMPOSISI

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) …

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x – 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g d. (f o g) (2)

b. g o f e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c. (f o g) (4) = 5

d. (f o g) (2) tidak didefinisikan

e. (g o f) (1) = -1

SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

CARA MENENTUKAN FUNGSI BILA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI YANG LAIN DIKETAHUI

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = -4x + 2

2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

FUNGSI INVERS

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x)merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi yitu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal:

 

Demikian sedikit ulasan yang dapat kami saya uraikan seputar materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk menambah pengetahuan kalian mengenai materi matematika tersebut.

Berikut contoh soal yang di UN kan:

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2012

Diketahui fungsi f(x) = 2x − 3 dan g(x) = x² + 2x− 3. Komposisi fungsi (g ? f)(x) = ….

A. 2x² + 4x − 9
B. 2x² + 4x − 3
C. 4x² + 6x − 18
D. 4x² + 8x
E. 4x² − 8x

Pembahasan

Komposisi fungsi (g ? f)(x) artinya fungsif(x) tersarang dalam fungsi g(x) sehingga yang menjadi patokan adalah fungsi g(x).
g(x) = x² + 2x − 3
(g ? f)(x) = f²(x) + 2f(x) − 3
= (2x − 3)² + 2(2x − 3) − 3
= 4x² − 12x + 9 + 4x − 6 − 3
= 4x² − 8x
Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah opsi (E).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2011

Diketahui f(x) = 2x + 5 dan

Hasil dari (f ? g)(x) = ….

Pembahasan

Dengan berpedoman pada fungsi f(x) soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:
f(x) = 2x + 5
(f ? g)(x) = 2g(x) + 5

Jadi, nilai dari komposisi fungsi tersebut adalah opsi (D).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2013

Diketahui fungsi

Invers fungsi g adalah g⁻¹(x) = ….

Pembahasan

Invers fungsi bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan rumus

Nilai a, b, c, dan d pada soal adalah

a = 1
b = 1
c = 2
d = −3

Nilai invers fungsi g(x) adalah

Jadi, invers fungsi g adalah opsi (B).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2010

Diketahui

dan fungsi invers f(x) adalah f⁻¹(x). Nilai f⁻¹(−2) = ….

A. 14/3
B. 17/14
C. 6/21
D. −17/14
E. −14/3

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus invers fungsi pada soal sebelumnya, diperoleh

= 6/21
Jadi, nilai untuk f⁻¹(−2) adalah 6/21 (C).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2014

Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x − 1 dan

Fungsi invers dari (f ? g)(x) adalah (f ? g)⁻¹(x) = ….

Pembahasan

Kita tentukan (f ? g)(x) terlebih dahulu
f(x) = 2x − 1
(f ? g)(x) = 2g(x) − 1

Selanjutnya kita tentukan inversnya dengan menggunakan rumus invers di atas.

Jadi, invers dari komposisi fungsi tersebut adalah opsi (B).

Soal No. 11 tentang Komposisi FungsiThn 2013

Diketahui fungsi f(x) = x − 4 dan g(x) = x² − 3x+ 7. Fungsi komposisi (g ? f)(x) = ….

A. x² − 3x + 3
B. x² − 3x + 11
C. x² − 11x + 15
D. x² − 11x + 27
E. x² − 11x + 35

Pembahasan

Perhatikan fungsi komposisi yang ditanyakan!
(g ? f)(x) = g[f(x)]
Letak fungsi g ada di depan sehingga kita harus berpatokan pada fungsi g(x).
g(x) = x² − 3x + 7
g[f(x)] = [f(x)]² − 3f(x) + 7
= (x − 4)² − 3(x − 4) + 7
= x² − 8x + 16 − 3x + 12 + 7
= x² − 11x + 35
Jadi, fungsi komposisi (g ? f)(x) adalah opsix² − 11x + 35 (E).

Soal No. 12 tentang Invers Fungsi thn 2013

Diketahui fungsi

 

Invers fungsi g adalah g⁻¹(x) = ….

 

Pembahasan

Invers fungsi pecahan linear dirumuskan:

 

Berdasarkan rumus di atas maka:

 

Jadi, Invers fungsi g adalah opsi (A).

8. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan (f o g)(a) = 81. Nilai a = …

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

E. 3

PEMBAHASAN :

(f o g)(x) = f(5x + 4)

= 6(5x + 4) – 3

= 30x + 21

(f o g)(a) = 30a + 21 = 81

30a = 60

a = 2

JAWABAN : D

9. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = …

A. 30

B. 60

C. 90

D. 120

E. 150

PEMBAHASAN :

g(f(x)) = g(2x + p)

= 3(2x + p) + 120

= 6x + 3p + 120

f(g(x)) = f(3x + 120)

= 2(3x + 120) + p

= 6x + 240 + p

karena g(f(x)) = f(g(x)), maka berlaku :

6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p

2p = 120

p = 60

JAWABAN : B

10. Soal No. 11 tentang Komposisi dan Invers Fungsi thn 2014

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = (x + 1)/x, x ≠ 0. Invers fungsi (f o g)(x) adalah (f og)⁻¹(x) = ….

 

Pembahasan

Komposisi fungsi (f o g)(x) biasanya dibaca “fbundaran g“. Artinya, di dalam fungsifterkandung fungsi g(x) atau fungsi g(x) tersarang dalam fungsi f.

f(x) = 2x + 1
(f o g)(x) = f[g(x)]
= 2g(x) + 1

f[g(x)] = 2g(x) + 1 mengikuti pola f(x) = 2x + 1. Sekarang kita operasikan fungsi g(x) pada komposisi fungsi tersebut.

(f o g)(x) = 2g(x) + 1

 

Untuk menentukan fungsi inversnya kita gunakan rumus berikut ini.

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh:

Jadi, invers komposisi fungsi tersebut adalah opsi (C).