Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan adalah suatu ilmu yang berkaitan dengan menentukan banyaknya cara suatu percobaan dapat terjadi. Menentukan banyakya cara suatu percobaan dapat terjadi dilakukan dengan: aturan penjumlahan, aturan perkalian.
- Aturan Penjumlahan
Jika ada sebanyak a benda pada himpunan pertama dan ada sebanyak b benda pada himpuan kedua, dan kedua himpuan itu tidak beririsan, maka jumlah total anggota di kedua himpuan adalah a + b.
Contoh : 1
Jika seseorang akan membeli sebuah sepeda motor di sebuah dealer. Di dealer itu tersedia 5 jeis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki. Dengan demikian orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Contoh : 2
Ibu Alya seorang guru SMK. Ia mengajar kelas XII Akuntansi yang jumlahnya 40 siswa, kelas XII penjualan yang jumlahnya 42 siswa, kelas XII bisnis, yang kumlahnya 45 siswa, maka jumlah siswa yang diajar Ibu Alya adalah 40 + 42 + 45 = 127 siswa.
- Aturan Perkalian
Pada aturan perkalian ini dapat diperinci menjadi dua, namun keduanya saling melengkapi dan memperjelas. Kedua kaidah itu adalah menyebutkab kejadian satu persatu dan aturan pemngisian tempat yang tersedia.
- Menyebutkan kejadian satu persatu
Contoh : 1
Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa hasil yang berlainan dapat terjadi ?
Penyelesaian :
Dengan diagram pohon diperoleh:
|
Uang |
|
Hasil yang mungkin |
|
G |
|
Dadu
1 2 3 4 5 6 |
|
A |
|
1 2 3 4 5 6 |
|
G1 G2 G3 G4 G5 G6 |
|
A1 A2 A3 A4 A5 A6 |
 |
Hasil yang mungkin : G1, G2, G3, G5, G6, A1, A2, A3, A4, A5, A6
Catatan : G1 artinya uang menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 1. Dengan demikian banyaknya cara hasil yang berkaitan dapat terjadi adalah 12 cara.
Contoh : 2
Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 2 cara, dari kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 4 cara. Berapa cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C ?
Penyelesaianya :
|
Dari keterangan di atas, jaringan jalan yang menghubugkan kota A, kota B dan C dapat dibuat diagram sebagai berikut:
|
B |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|||||||
 |
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
Hasil yang mungkin adalah : 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24. Jadi banyaknya ada 8 cara.
Contoh : 3
Tentukan banyaknya bilangan genap yang terdiri dari dua angka yang disusun dari angka-angka 4, 5, 6 dan 7 bila:
- pemakaian angka boleh berulang
- pemakaian angka tidak boleh berulang
Penyelesaian :
- hasilnya : 44, 54, 64, 74, 45, 55, 65, 75 ® banyaknya 8 bilangan
- hasilnya : 54, 64, 74, 46, 56, 76 ® banyakya 6 bilangan
Contoh 4:
Suatu gedung mempunyai 4 pintu keluar masuk. Berapa cara seseorang dapat masuk dan keluar?
- dengan pintu yang berbeda
- dengan pintu mana saja
Penyelesaian:
Misalkan pintunya A, B, C, dan D
AB artinya : masuk pintu A dan keluar pintu B
BA artinya : masuk pintu B dan keluar pintu A
- dengan pintu yang berbeda hasilnya:
AB, AC, AD, BC, BD, BA, CD, CA, CB, DA, DB, DC jadi banyaknya: 12 cara
- dengan pintu masa saja, hasilnya:
AA, AB, AC, AD, BC, BD, BA, BB, CD, CA, CB, CC, DA, DB, DC, DD.
Jadi banyaknya : 16 cara
- Aturan pengisian tempat yang tersedia
Menentukan banyaknya cara suatu percobaan selalu dapat diselesaikan dengan meyebutkan kejadian satu persatu. Akan tetapi, akan mengalami kesulitan kejadiannya cukup banyak. Hal ini akan lebih cepat jika diselesaikan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia atau dengan mengalikan.
Contoh 1:
Alya mempunyai 5 baju dan 3 celana. Berapa cara Alya dapat memakai baju dan celana?
Peyelesaian :
Misalkan kelima baju itu B1, B2, B3, B4, B5 dan ketiga celana itu C1, C2, C3. Hasil yang mungkin terjadi adalah….
|
|
B1 B2 B3 B4 B5 |
|
C1 C2 C3 |
C1B1 C1B2 C1B3 C1B4 C1B5 C2B1 C2B2 C2B3 C2B4 C2B5 C3B1 C3B2 C3B3 C3B4 C3B5 |
Jadi banyaknya cara Alya dapat memakai baju da celana = 15 cara
Langkah diatas dapat diselesaikan dengan:
|
5 cara |
|
3 cara |
Baju Celana
Jadi, ada 5 ´ 3 cara = 15 cara
Contoh 2:
Salma mempunyai 5 baju, 3 celana, 2 sepatu dan 4 topi. Tentukan berapa cara Salma dapat memakainya ?
Baju Celana Sepatu Topi
|
5 cara |
|
3 cara |
|
2 cara |
|
4 cara |
 |
Jadi, ada 5 ´ 3 ´ 2 ´ 4 cara = 120 cara.
|
Secara umum dapat dirumuskan:
Contoh 3:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun?
- tanpa pengulangan
- boleh berulang
Penyelesaian :
- Tanpa pengulangan
Empat angka berarti ribuan, sehingga diperlukan empat tempat
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
´ ´ ´
Angka nol (0) tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga yang mungkin angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau 6 cara dan tanpa pengulangan maka :
|
|
|
|
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
´ ´ ´
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 ´ 6 ´ 5 ´ 4 = 720 bilangan
- Pengulangan
Angka nol tidak mungkin menempati urutan pertama sehingga ada 6 cara, untuk urutan kedua dan seterusnya masing-masing tujuh cara sebab semua angka memungkinkan karena berulang maka diperoleh:
|
|
|
|
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
´ ´ ´
Jadi banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah:
6 ´ 7 ´ 7 ´ 7 = 2058 bilangan
Contoh 4:
Tentukan banyaknya bilangan ganjil yang terdiri tiga angka yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5.
- Angka tidak berulang
- Angka boleh berulang
Penyelesaian:
- Angka tidak berulang
Ratusan Puluhan Satuan
|
|
|
´ ´
-
- Bilangan yang disusun adalah bilangan ganjil, maka kotak satuan dapat diisi dengan angka 1, 3, dan 5 (3 cara)
- Ada syarat angka tidak berulang, maka kotak ratusan bisa diisi dengan 4 cara (karena sudah diambil satu angka), dan kotak puluhan dapat diisi dengan 3 cara.
Jadi banyaknya bilangan = 4 ´ 3 ´ 3 bilangan
= 36 bilangan
- Angka boleh berulang
Ratusan Puluhan Satuan
|
|
|
´ ´
-
- Karena yang disusun bilangan ganjil, maka kotak satuan diisi dengan 3 cara
- Angka boleh berulang, maka kotak ratusan dapat diisi angka 1, 2, 3, 4 dan 5 (5 cara) dan kotak puluhan juga 5 cara.
Jadi banyaknya bilangan = 5 ´ 5 ´ 3 bilangan
= 75 bilangan
