Dalam permainan Baseball, tanda pertandingan dimulai adalah saat pitcher melempar bola ke arah batter dan catcher. Gerakan melempar bola tersebut jika diperhatikan dengan seksama membentuk parabola atau kurva, begitupun dengan gerakan bola jika berhasil dipukul oleh batter yang melambung sejauh mungkin. Arah bola dalam keseluruhan permainan baseball merupakan penerapan dari persamaan kuadrat.
Menarik, kan Grameds? Untuk mengetahui lebih lanjut apa itu persamaan kuadrat yuk simak penjelasan artikel ini selanjutnya!
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum dari Persamaan Kuadrat adalah sebagai berikut
a,b, dan c bilangan real. a≠0- x adalah variable atau nilai yang belum diketahui dan memenuhi persamaan kuadrat tersebut
Grameds, sampai sini sudah paham kan bentuk-bentuk persamaan kuadrat? Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Semua soal dan penjelasan didapatkan dari koleksi buku modul Jagoan Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII milik Edutore.
Solusi untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 (nol) dan biasa disebut akar-akar persamaan. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:
1. Cara Memfaktorkan
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat
ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0 menjadi (rx-p) (sx+q)=0
Contoh Soal Faktorisasi Persamaan Kuadrat
1. Akar-akar persamaan kuadrat 6x^{2}+13x-5=06x2+13x−5=0 adalah …
a. -\frac{5}{2}−25?atau \frac{1}{2}21?
b. -\frac{5}{2}−25? atau \frac{1}{3}31?
c. \frac{5}{3}35? atau -\frac{1}{2}−21?
d.\frac{5}{2}25? atau -\frac{1}{3}−31?
e. -\frac{5}{3}−35? atau -\frac{1}{2}−21?
Pembahasan:
Persamaan kuadrat 
dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
6x^{2} + 13x-5 = 06x2+13x−5=0
(3x-1) (2x+5) = 0(3x−1)(2x+5)=0
3x = 13x=1 atau 2x = -52x=−5
x_{1} = \frac{1}{3}x1?=31? atau x_{2} = -\frac{5}{2}x2?=−25?
Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah \left \{ -\frac{5}{2},\frac{1}{3} \right \}{−25?,31?}
2. Melengkapi Kuadrat Sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah umum menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti
(x+1)^{2} (x+1)2 atau (2x-3)^{2}(2x−3)2.
Metode ini mengubah bentuk ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0 menjadi bentuk:
x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - cx2+bx+(2b?)2=(2b?)2−c
(x + \frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c(x+2b?)2=(2b?)2−c
Contoh Soal Kuadrat Sempurna
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x^{2}-2x+1=7x2−2x+1=7 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!
Pembahasan:
x^{2}-2x+1=7x2−2x+1=7
(x-1)^{2}=7(x−1)2=7
(x-1)^{2}=\sqrt{7}(x−1)2=7?
x = \pm \sqrt{7} + 1x=±7?+1
x_{1} = \sqrt{7}+1x1?=7?+1 atau x_{2} = -\sqrt{7}+1x2?=−7?+1
Sehingga HP = \begin{Bmatrix}\sqrt{7}+1, -\sqrt{7}+1\end{Bmatrix}{7?+1,−7?+1?}
3. Rumus ABC
Metode ini memanfaatkan nilai ( {a, b,} )(a,b,)dan ( c )(c) dari suatu persamaan kuadrat untuk mendapatkan akar-akar( ax^{2}+bx+c=0 )(ax2+bx+c=0). Nilai x_{1}x1? dan x_{2} x2? dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}x1,2?=2a−b±b2−4ac??
Contoh Soal Rumus ABC
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( x^{2}-4x+2=0 )(x2−4x+2=0) dengan rumus ABC!
Pembahasan:
Dari ( x^{2}-4x+2=0)(x2−4x+2=0) diperoleh ( a=1;b=-4;c=2)(a=1;b=−4;c=2)
( x_{1,2}) = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{- \left( -4 \right) \pm \sqrt{ \left( -4 \right) ^{2}-4 \left( 1 \right) \left( 2 \right) }}{2 \left( 1 \right) } )(x1,2?)=2a−b±b2−4ac??=2(1)−(−4)±(−4)2−4(1)(2)??)
( \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}=2 \pm \sqrt{2})(24±16−8??=24±8??=24±22??=2±2?)
Jadi, ( x_{1}=2+\sqrt{2} )(x1?=2+2?) atau ( x_{2}=2-\sqrt{2} )(x2?=2−2?)
Nah setelah 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat, berikutnya mari kita lanjutkan ke jumlah, selisih, dan hasil kali akar.
Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Persamaan kuadrat berbentuk ( ax^{2}+bx+c=0 )(ax2+bx+c=0) dan memiliki akar-akar ( x_{1} )(x1?) dan ( x_{2} )(x2?) bisa diubah menjadi bentuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian sehingga berlaku rumus:
- x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}x1?+x2?=−ab?
- x_{1.}x_{2}=\frac{c}{a}x1.?x2?=ac?
- x_{1}-x_{2}= \pm \frac{\sqrt{D}}{a} ) x1?−x2?=±aD??)
- x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-2x_{1}x_{2} x12?+x22?=(x1?+x2?)2−2x1?x2?
- x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) \left( x_{1}-x_{2} \right)x12?−x22?=(x1?+x2?)(x1?−x2?)
- x_{1}^{3}+x_{2}^{3}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}+x_{2} \right) x13?+x23?=(x1?+x2?)3−3x1?x2?(x1?+x2?)
- x_{1}^{3}-x_{2}^{3}= \left( x_{1}-x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}-x_{2} \right) x13?−x23?=(x1?−x2?)3−3x1?x2?(x1?−x2?)
- \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}} x1?1?+x2?1?=x1?x2?x1?+x2??
- \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} x1?x2??+x2?x1??=x1?x2?x12?+x22??
- \frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} x1?x2??−x2?x1??=x1?x2?x12?−x22??
- \left( x_{1}-x_{2} \right) ^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-4x_{1}x_{2}(x1?−x2?)2=(x1?+x2?)2−4x1?x2?
Contoh Soal Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Berikut adalah contoh soal dari jumlah, selisih, dan hasil kali akar . . .
1. Persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 )(2x2−x−4=0) memiliki akar-akar ( x_{1} )(x1?) dan ( x_{2} )(x2?). Nilai dari ( \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} )(x1?x2??+x2?x1??) adalah …
a. - \frac{17}{8} −817?
b. \frac{17}{8} )817?)
c. -\frac{1}{4} −41?
d. (4 (4
e. \frac{15}{8}815?
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 )(2x2−x−4=0) pada soal, dapat diketahui bahwa nilai dari
x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-2x1?.x2?=ac?=−2 dan x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}x1?+x2?=−ab?=21?
2. Persamaan kuadrat (x^{2}- \left( a+1 \right) x-a-6=0(x2−(a+1)x−a−6=0 memiliki akar-akar x_{1} dan x_{2}x1?dan x2? . Jika x_{1}+x_{2}=4x1?+x2?=4, maka nilai dari x_{1}.x_{2}x1?.x2? adalah . . .
a. -9
b. -3
c. 0
d. 3
e. 9
Pembahasan
Untuk mencari nilai aa menggunakan rumus:
