Pengertian dan Contoh Matriks, Jenis-jenis Matriks,Operasi Hitung pada Matriks dan Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks Lengkap

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah sebuah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

 

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya matriks A,

B, C, D, ..., dan seterusnya.

Dalam matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n) pada matriks.

contoh : Suatu matrik A dengan m baris dan n kolom ditulis

 

 

 

 

 

 

 

Misalnya diberikan sebuah matriks A sebagai berikut

 

 

Matriks A diatas terdiri dari 4 baris dan 3 kolom, sehingga disebut matriks berordo 4x3 dan dapat ditulis

B. Jenis-jenis Matriks

Matriks memilik banyak jenis yang dapat dibedakan dengan ordo dan elemen-elemennya. Jenis matriks adalah sebagai berikut.

 

1. Matriks baris.

Matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh :

 

 

2. Matriks kolom.

Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh :

 

 

3. Matriks persegi.

Matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Contoh :

 

4. Matriks nol.

Matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

 

 

5. Matriks identitas.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Contoh :

 

 

6. Matriks Skalar.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh :

 

 

7. Matriks diagonal.

Matriks persegi memiliki elemen di luar diagonal utama yang bernilai nol. Contoh :

 

 

 

 

 

 

8. Matriks segitiga atas.

Matriks persegi yang elemen diagonal bawah bernilai nol. Contoh :

 

 

9. Matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang elemen diagonal atas bernilai nol. Contoh :

 

 

10. Transpos matriks A atau (A t).

Matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

Misalnya, jika matriks A

 

 

maka matriks transpos dari A adalah :

 

 

 

 

C. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan B dapat dikatakan sama (ditulis A=B), apabila keduanya berukuran sama dan semua unsur letaknya sama.

Jika

 

 

untuk i adalah = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n

Berbagai sifat yang berkaitan dengan kesamaan dua matrik dan tranposnya

adalah sebagai berikut

 

 

 

contoh :

jika matriks

 

 

memenuhi persamaan A = B, maka tentukan x dan y

jawab :

dari A = B diperoleh

 

 

 

 

yang menghasilkan persamaan linier dua peubah

 

 

berdasarkan persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan y = -1

serta nilai x = 2 dan y = -1 juga memenuhi persamaan (3) dan (4)

D. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

• Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

• Perkalian dengan skalar

Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Pengurangan

Selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika

 

 

 

maka
(a). A + B
(b). 2A - 3B
(c). 2At + Bt

Jawab :
(a)

(b)

 

 

(c)

E. Perkalian Matriks

Hasil perkalian dari matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1x1 yang ditentukan oleh :

 

 

Catatan :

• Jika matriks A berukuran m x p dan matriks B berukuran p x n, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
• Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan

contoh :

 

 

 

 

Pembahasan :

Matriks A2x2 dikali matriks B2x3 akan menghasilkan matriks C2x3

 

 

 

 

Tulislah sistem persamaan linier berikut sebagai perkalian matriks

A3x2 B2x1 C3x1

A3x3 B3x1 C3x1

F. Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika sebuah matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :Sifat komutatif terhadap penjumahan adalah : A + B = B + A

• Sifat assosiatif terhadap penjumlahan adalah : (A + B) + C = A + ( B + C)
• Sifat matriks nol adalah : A + 0 = A
• Sifat lawan matriks adalah : A + (-A) = 0
• Sifat asoasiatif terhadap perkalian adalah : (AB) C = A (BC)
• Sifat distributif kiri adalah : A(B + C) = AB + AC
• Sifat distributif kanan adalah : (A+B) C = AC + BC
• Sifat perkalian dengan konstanta adalah : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
• Sifat perkalian dengan matriks satuan adalah : AI = IA = A